第一章 整数之分解
第一节 整除性 知识要点
诸整数所成之集，对加、减、乘三种运算自封。
定理1. 任意二整数$$a\mbox{及}b(b>0)$$，必有二整数$$q\mbox{及}r$$使
$$a=qb+r,\quad\quad 0\leq r<b$$
$$r\mbox{名为以}b\mbox{除}a$$所得之最小剩余。
习题
第1题
若$$n\mbox{为正整数，证明}\Big[\frac{[n\alpha]}{n}\Big]=[\alpha]$$。
方法一
证： $$\because [\alpha]\leq\alpha<[\alpha]+1$$，
且$$n\in\mathbb{N}$$，
则：$$n[\alpha]\leq n\alpha< n[\alpha]+n$$，
$$[n[\alpha]]\leq[n\alpha]<[n[\alpha]+n]$$，
$$n[\alpha]\leq[n\alpha]< n[\alpha]+n$$，
$$\therefore [\alpha]\leq\frac{[n\alpha]}{n}< [\alpha]+1$$，
$$\therefore [\alpha]\leq\Big[\frac{[n\alpha]}{n}\Big]<[\alpha]+1$$，
由定义可知，
$$\Big[\frac{[n\alpha]}{n}\Big]=[\alpha]$$。
证毕。
方法二
证： 设$$[n\alpha]=nq+r, 0\leq r<n,\mbox{为整数}$$，那么
$$n\alpha=nq+r+<\alpha>$$，
$$\Big[\frac{[n\alpha]}{n}\Big]=\Big[\frac{nq+r}{n}\Big]=\Big[q+\frac{r}{n}\Big]=[q]$$，
$$[\alpha]=\Big[\frac{n\alpha}{n}\Big]=\Big[\frac{nq+r+<\alpha>}{n}\Big]=\Big[q+\frac{r+<\alpha>}{n}\Big]=q$$，
$$\therefore \Big[\frac{[n\alpha]}{n}\Big]=[\alpha]$$。
证毕。
方法三
证： 设$$\alpha=k+\frac{j}{n}+r,\quad 0\leq r<\frac{1}{n}, \quad 0\leq j<n,\quad j,k\in \mathbb{Z}$$，那么
$$\Big[\frac{[n\alpha]}{n}\Big]=\Big[\frac{[nk+j+nr]}{n}\Big]=\Big[\frac{nk+j}{n}\Big]=\Big[k+\frac{j}{n}\Big]=k=[\alpha]$$。
证毕。
第2题
若$$n\mbox{为正整数，则}$$
$$[\alpha]+[\alpha+\frac{1}{n}]+\cdots+[\alpha+\frac{n-1}{n}]=[n\alpha]$$。
证：
设 $$\alpha=k+\frac{j}{n}+r, \mbox{其中}0\leq r<\frac{1}{n}, 0\leq j<n, k,j\in\mathbb{Z}$$
$$ \begin{align}\mbox{左式}&=\displaystyle\sum^{n-1-j}_{i=0}[k+\frac{j}{n}+r+\frac{i}{n}]+\displaystyle\sum^{n-1}_{i=n-j}[k+\frac{j}{n}+r+\frac{i}{n}]\\
&= (n-j)\times k+j\times(k+1)\\
&= n\times k+j\\
&= n\times(k+\frac{j}{n})\\
&= [n\alpha]\\
&= \mbox{右式}
\end{align}$$
证毕。
第3题
证明不等式$$[2\alpha]+[2\beta]\geq[\alpha]+[\alpha+\beta]+[\beta]$$。
证：设$$\alpha=k_1+\frac{\sigma_1}{2}+r_1,\quad\beta=k_2+\frac{\sigma_2}{2}+r_2, \mbox{其中：}$$
$$k_1,k_2,\sigma_1,\sigma_2\in{\mathbb{Z}},0\leq\sigma_1,\sigma_2\leq1,0\leq r_1,r_2<\frac{1}{2}$$
那么：
$$\begin{align}\mbox{左式}&=[2\times(k_1+\frac{\sigma_1}{2}+r_1)]+[2\times(k_2+\frac{\sigma_2}{2}+r_2)]\\
&=2k_1+\sigma_1+2k_2+\sigma_2\\
&=k_1+(k_1+\sigma_1+\sigma_2+k_2)+k_2\\
&\geq[\alpha]+[\alpha+\beta]+[\beta]\end{align}$$
证毕！