题目
某珠宝商准备将蓝、绿、紫三种不同颜色的珠子串成由七颗珠子组成的手链进行出售。请问有多少种不同排列顺序的手链产生？
群论解法
$$N_7={1,2,3,4,5,6,7},m=3$$,
$$G={P_1=I,P_2,P_3,P_4,P_5,\cdots,P_{14}}\mbox{是}N_7\mbox{上的一个置换群}$$。
$$I=P_1=(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)\mbox{不动}$$。
$$P_2=(1,2,3,4,5,6,7)$$1阶轮换。
$$P_3=(1,3,5,7,2,4,6)$$1阶轮换。
$$P_4=(1,4,7,3,6,2,5)$$1阶轮换。
$$P_5=(1,5,2,6,3,7,4)$$1阶轮换。
$$P_6=(1,6,4,2,7,5,3)$$1阶轮换。
$$P_7=(1,7,6,5,4,3,2)$$1阶轮换。
$$P_8=(1)(2,7)(3,6)(4,5)$$对点1与圆心连线成轴对称。
$$P_9=(2)(1,3)(4,7)(5,6)$$对点2与圆心连线成轴对称。
$$P_{10}=(3)(2,4)(1,5)(6,7)$$对点3与圆心连线成轴对称。
$$P_{11}=(4)(1,7)(2,6)(3,5)$$对点4与圆心连线成轴对称。
$$P_{12}=(5)(1,2)(3,7)(4,6)$$对点5与圆心连线成轴对称。
$$P_{13}=(6)(2,3)(1,4)(5,7)$$对点6与圆心连线成轴对称。
$$P_{14}=(7)(1,6)(2,5)(3,4)$$对点7与圆心连线成轴对称。
得：
$$\begin{align}M&=\frac{1}{|G|}\times\displaystyle\sum^{14}_{i=1}m^{C(P_i)}\\
&=\frac{1}{14}\times(3^7+6\times3+7\times3^4)\
&=198\mbox{（种）}\end{align}$$