数论导引读书笔记20191008

整数之模

模乃对加减自封之一数集。若m及n皆在一模中，则$$m\pm n$$亦属此模。只有0之模谓之零模。

定理4.1.

1）任何模中必含有0；

2） 若$$a,b$$在模中，则$$am+bn$$亦然，$$m,n$$为任何整数。

定理4.2.

任与二整数$$a\text{及}b$$，则所有形如$$am+bn$$之整数成一模。

定理4.3.

任一非零之模，必为一正整数之倍数所成之集合。
（证明用反证法）

定义.(最大公因数)

命$$a,b$$为二整数。于定理3中形如$$am+bn$$所成之模，则此定理证明中所得之d名为a,b之i最大公因数，以(a,b)表之。

定理4.4.

(a,b)有如下性质：

(1) 有整数$$x,y$$，使$$(a+b)=ax+by$$ ；

(2) 对任二整数$$x,y$$，必有$$(a+b)\mid ax+by$$；

(3) 若$$e\mid a,e\mid b,\text{则}e\mid (a,b)$$。

定义.（互素）

若$$(a,b)=1,\text{则}a,b$$谓之互素。

附言

求最大公因数的方法：

• 辗转韶相除法
• euclid计算
• 秦九转韶于数学九章（1247年）中亦论及。

例： 求取$$a=323,b=221$$之最大公因数。

由Euclid算法可得
$$323=221\times 1+102$$。

故$$102$$在形如$$ax+by$$之整数模中。

又
$$221=102\times 2+17$$，故17亦在模中。

因
$$102=17\times 6$$，故17为该模之最小正整数，即$$17=(323,221)$$。

唯一分解定理

定理5.1.

若p为素数且$$p\mid ab,\text{则}p\mid a,\text{或}p\mid b$$。

定理5.2

若$$c>0,\text{及}(a,b)=d,\text{则}(ac,bc)=dc$$。

定理5.3

$$n$$之标准分解式是唯一的。换言之，若不计次序，则$$n$$仅能由唯一之方式表为素数之积。

习题1. 证明以下各数非有理数

$$lo{g}_{10}2,\sqrt{2}$$。

证明：反证法。

（1）
若$$lo{g}_{10}2$$为有理数，则可设$$lo{g}_{10}2=\frac{p}{q},p>0,q>0$$

$${10}^{lo{g}_{10}2}={10}^{\frac{p}{q}}$$

$$2={10}^{\frac{p}{q}}$$

$$2^q={10}^p,\text{即：}{2}^{q-p}=5^p$$

显然，$$p=q=0$$与$$p,q>0$$矛盾。假设不成立。

$$\therefore lo{g}_{10}2$$为无理数。
证毕。

（2）
若$$\sqrt{2}$$为有理数，则可设$$\sqrt{2}=\frac{p}{q},(p,q)=1$$，由此

$$2q^2=p^2,\text{则}2\mid p,\text{令}p=2k$$，

则$$q^2=2k^2,\text{即}2\mid q$$，由此

$$(p,q)=2,\text{与原设}(p,q)=1$$矛盾，假设不成立。

$$\therefore \sqrt{2}$$为无理数。
证毕。

习题2.

若已知

$$lo{g}_{10}\frac{1025}{1024}=a,lo{g}_{10}\frac{{1024}^2}{1023\cdot 1025}=b,$$

$$lo{g}_{10}\frac{{81}^2}{80\cdot 82}=c,lo{g}_{1}0\frac{{125}^2}{124\cdot 126}=d,$$

$$lo{g}_{10}\frac{{99}^2}{98\cdot 100}=e,$$

则

$$196lo{g}_{10}2=59+5a+8b-3c-8d+4e$$

并试用$$a,b,c,d,e$$表出$$lo{g}_{10}3\text{及}lo{g}_{10}41$$；再用此法以求$$lo{g}_{10}2$$至小数第10位，以说明此法在实际计算上有用处。

证明：

$${10}^{196lo{g}_{10}2}=2^{196}$$

$$\begin{array}{}\text{(1)}& & {10}^{59+5a+8b-3c-8d+4e}\text{(2)}& & ={10}^{59}\times {10}^{5a}\times {10}^{8b}÷{10}^{3c}÷{10}^{8d}\times {10}^{4e}\text{(3)}& & ={10}^{59}\times {(\frac{1025}{1024})}^5\times {(\frac{{1024}^2}{1023\cdot 1025})}^8\text{(4)}& & ÷{(\frac{{81}^2}{80\cdot 82})}^3÷{(\frac{{125}^2}{124\cdot 126})}^8\times {(\frac{{99}^2}{98\cdot 100})}^4\text{(5)}& & =\frac{{10}^{59}\times {1025}^5\times {1024}^{16}\times {80}^3\times {82}^3\times {124}^8\times {126}^8\times {99}^8}{{1024}^5\times {1023}^8\times {1025}^8\times {81}^6\times {125}^{16}\times {98}^4\times {100}^4}\text{(6)}& & =\frac{2^{59}\cdot 5^{59}\cdot 5^{10}\cdot {41}^5\cdot 2^{160}\cdot 2^{12}\cdot 5^3\cdot 2^3\cdot {41}^3\cdot 2^{16}\cdot {31}^8\cdot 3^{16}\cdot 2^8\cdot 7^8\cdot 3^{16}\cdot {11}^8}{2^{50}\cdot 3^8\cdot {31}^8\cdot {11}^8\cdot 5^{16}\cdot {41}^8\cdot 3^{24}\cdot 5^{48}\cdot 2^4\cdot 7^8\cdot 2^8\cdot 5^8}\text{(7)}& & =2^{196}\end{array}$$

证毕。