ArianaのAcademia

第一章 整数之分解

第一节 整除性 知识要点

诸整数所成之集，对加、减、乘三种运算自封。

定理1. 任意二整数$$a\mbox{及}b(b>0)$$，必有二整数$$q\mbox{及}r$$使

$$a=qb+r,\quad\quad 0\leq r<b$$

$$r\mbox{名为以}b\mbox{除}a$$所得之最小剩余。

习题

第1题

若$$n\mbox{为正整数，证明}\Big[\frac{[n\alpha]}{n}\Big]=[\alpha]$$。

方法一

证： $$\because [\alpha]\leq\alpha<[\alpha]+1$$，
且$$n\in\mathbb{N}$$，

则：$$n[\alpha]\leq n\alpha< n[\alpha]+n$$，

$$[n[\alpha]]\leq[n\alpha]<[n[\alpha]+n]$$，

$$n[\alpha]\leq[n\alpha]< n[\alpha]+n$$，

$$\therefore [\alpha]\leq\frac{[n\alpha]}{n}< [\alpha]+1$$，

$$\therefore [\alpha]\leq\Big[\frac{[n\alpha]}{n}\Big]<[\alpha]+1$$，

由定义可知，

$$\Big[\frac{[n\alpha]}{n}\Big]=[\alpha]$$。

证毕。

方法二

证： 设$$[n\alpha]=nq+r, 0\leq r<n,\mbox{为整数}$$，那么

$$n\alpha=nq+r+<\alpha>$$，

$$\Big[\frac{[n\alpha]}{n}\Big]=\Big[\frac{nq+r}{n}\Big]=\Big[q+\frac{r}{n}\Big]=[q]$$，

$$[\alpha]=\Big[\frac{n\alpha}{n}\Big]=\Big[\frac{nq+r+<\alpha>}{n}\Big]=\Big[q+\frac{r+<\alpha>}{n}\Big]=q$$，

$$\therefore \Big[\frac{[n\alpha]}{n}\Big]=[\alpha]$$。

证毕。

方法三

证： 设$$\alpha=k+\frac{j}{n}+r,\quad 0\leq r<\frac{1}{n}, \quad 0\leq j<n,\quad j,k\in \mathbb{Z}$$，那么

$$\Big[\frac{[n\alpha]}{n}\Big]=\Big[\frac{[nk+j+nr]}{n}\Big]=\Big[\frac{nk+j}{n}\Big]=\Big[k+\frac{j}{n}\Big]=k=[\alpha]$$。

证毕。

第2题

若$$n\mbox{为正整数，则}$$

$$[\alpha]+[\alpha+\frac{1}{n}]+\cdots+[\alpha+\frac{n-1}{n}]=[n\alpha]$$。

证：
设 $$\alpha=k+\frac{j}{n}+r, \mbox{其中}0\leq r<\frac{1}{n}, 0\leq j<n, k,j\in\mathbb{Z}$$

$$ \begin{align}\mbox{左式}&=\displaystyle\sum^{n-1-j}_{i=0}[k+\frac{j}{n}+r+\frac{i}{n}]+\displaystyle\sum^{n-1}_{i=n-j}[k+\frac{j}{n}+r+\frac{i}{n}]\\
&= (n-j)\times k+j\times(k+1)\\
&= n\times k+j\\
&= n\times(k+\frac{j}{n})\\
&= [n\alpha]\\
&= \mbox{右式}
\end{align}$$

证毕。

第3题

证明不等式$$[2\alpha]+[2\beta]\geq[\alpha]+[\alpha+\beta]+[\beta]$$。

证：设$$\alpha=k_1+\frac{\sigma_1}{2}+r_1,\quad\beta=k_2+\frac{\sigma_2}{2}+r_2, \mbox{其中：}$$
$$k_1,k_2,\sigma_1,\sigma_2\in{\mathbb{Z}},0\leq\sigma_1,\sigma_2\leq1,0\leq r_1,r_2<\frac{1}{2}$$

那么：

$$\begin{align}\mbox{左式}&=[2\times(k_1+\frac{\sigma_1}{2}+r_1)]+[2\times(k_2+\frac{\sigma_2}{2}+r_2)]\\
&=2k_1+\sigma_1+2k_2+\sigma_2\\
&=k_1+(k_1+\sigma_1+\sigma_2+k_2)+k_2\\
&\geq[\alpha]+[\alpha+\beta]+[\beta]\end{align}$$

证毕！

读本书的缘起

其实非常偶然，闺女小学五年级，一道课外班的数论题不会做，求救于我，我也不会做，面皮受损，只得重拾书本，投入热火朝天的学习中去。

手边没有教材，几十年前曾经看过的陈景润先生的«初等数论»一书，亦被我不知放到何处去了，只好求助于网上扫描版的电子书。该书是1956年版的华罗庚先生的数论导引，希望自己能坚持看完并看懂它。

此处仅是自己的读书摘录与思考，仅作为自己学习记录之用，是以为记。

书摘

本书的目的除掉较全面地介绍数论上的若干基础知识之外，作者还试图通过本书体现出几点粗浅的看法：

希望能够通过本书具体地说明一下数论与数学其他部分的关系。……“数学是科学中的皇后，数论是数学中的皇后”（高斯）

其二，从具体到抽象是数学发展的一条重要大道。

其三，在开始搞研究工作的时候，最难把握的是质的问题，也就是深度问题。

感触

大学者的谦逊由此可见一斑。

书中符号说明

$$[\alpha]\mbox{表示不超过}\alpha\mbox{的最大整数，}{\alpha}\mbox{表示}\alpha\mbox{的分数部分；}$$

$$<\alpha>\mbox{表示}\alpha\mbox{与最靠近它的整数}[\alpha]\mbox{之间的距离}$$，

$$\mbox{即：}min(\alpha-[\alpha],[\alpha]+1-\alpha)$$。

$$(a,b,\cdots,c)\mbox{为诸数}a,b,\cdots,c\mbox{之最大公约数}$$；

$$[a,b,\cdots,c]\mbox{为其最小公倍数}$$。

$$a\mid b\mbox{表}a\mbox{除得尽}b$$；

$$a\nmid b\mbox{表}a\mbox{除不尽}b$$。

$$p^u\parallel a\mbox{表}p^u\mid a\mbox{，但}p^{u+1}\nmid a$$。

$$a\equiv b(mod m)\mbox{表}a-b\mbox{为}m\mbox{之倍数}$$；

$$a \not \equiv b(mod m)\mbox{表}a-b\mbox{不为}m\mbox{之倍数}$$。

$$\displaystyle\prod^{n}_{v=1}a_v=a_1a_2\cdots a_n, \displaystyle\sum_{v=1}^{n}a_v=a_1+a_2+\cdots+a_n$$；

$$\displaystyle\prod_{d\mid m}a_d\mbox{及}\displaystyle\sum_{d\mid m}a_d\mbox{均表}d\mbox{过}m$$之所有不同因子。

$$S(\alpha)=\alpha^{(1)}+\alpha^{(2)}+\cdots+\alpha^{(n)}\mbox{表代数}\alpha\mbox{之迹}$$；

$$N(\alpha)=\alpha^{(1)}\alpha{(2)}\cdots\alpha^{(n)}\mbox{表}\alpha\mbox{之距}$$。

$$\Delta（\alpha_1,\cdots,\alpha_n)\mbox{表}\alpha_1,\cdots,\alpha_n\mbox{之判别式}$$；

$$\Delta=\Delta(R(\vartheta))\mbox{表代数数域}R(\vartheta)$$之整底之判别式，亦即基数。

问：$$123456\cdots787980\div88$$的余数？

析：

令$$x=123456\cdots787980$$，则：

$$x\div88=x\div8\div11\quad\tag{1}$$

$$x(mod8)\equiv980(mod8)\equiv4(mod8)\quad\tag{2}$$

$$
\begin{multline}
x(mod11)\equiv\mbox{两位一截断求余求和}(mod11)\
\equiv10(mod11)\quad\tag{3}
\end{multline}
$$

应用韩信点兵法求得最终余数76。

流程图

graph TD;
A[x]-->B[对8求余];
A-->C[对11求余];
B-->D[韩信点兵];
C-->D;
D-->E{76};

孙子定理（中国剩余定理）

设$$m_1,m_2,\cdots,m_k\mbox{是}k$$个两两互质的正整数，$$M=m_1m_2\cdots m_k,\quad M_i=\frac{M}{m_i}, i=1,2,\cdots k$$，则同余式组

$$\begin{cases}\begin{gather}x\equiv b_1(mod m_1)\x\equiv b_2(mod m_2)\ \cdots\x\equiv b_k(mod m_k)\end{gather}\end{cases}$$

的解是

$$x\equiv b_{1} M^{‘}{1}M{1}+b_{2}M^{‘}{2}M{2}+\cdots b_{k}M^{‘}{k}M{k}(mod M)$$

其中

$$M^{‘}{i}M{i}\equiv 1(mod m_i),(i=1,2,\cdots k)$$

解：

设$$x=123456\cdots787980$$

$$x\div88=x\div8\div11$$

$$\because x(mod8)\equiv980(mod8)\equiv4(mod8)\ \therefore x(mod8)\equiv4(mod8)$$

又$$123456\cdots787980$$对11求余可用两位截断法，即从右向左划分$$1|23|45|67|89|10|11|12|\cdots|78|79|80$$，分别除以11后各余数相加再对11求余

$$\begin{align}
&5\times1\\
&+6\times(10+0+1+2+3+\cdots+9)\\
&+(10+0+1+2+3)\\
&=351
\end{align}$$

$$351(mod11)\equiv10(mod11)$$

$$\therefore x(mod11)\equiv10(mod11)$$

由此，本题转化为求解同余式组
$$\begin{cases}\begin{gather}x\equiv4(mod8)\\ x\equiv10(mod11)\end{gather}\end{cases}$$

套用孙子定理，

$$M=88, M_1=88\div8=11,M_2=88\div11=8,\\ \mbox{此处是关键} M^{‘}_1=3,M^{‘}_2=7$$

$$x\equiv4\times11\times3+10\times8\times7(mod88)$$

$$x\equiv692(mod88)\equiv76(mod88)$$

答：

余数为76。

Mo2017-p234-N12

题： 仔细观察题图，问号的地方应该填入（ ）。

解：
仔细观察各列，可知：剔除前列中的最小值，并逆序重排在后一列。

故知第四列为9，8，7。

答：最后一列为{9，8，7}。

graph TD;
A[9]---B[8];
B---C[7];

數學公式
$$a+b=c$$

Markdown数学公式语法

行内与独行

行内公式：将公式插入到本行内，符号：$公式内容$，如： $$xyz$$

上标、下标与组合

上标符号，符号：^，如：$$x^4$$

下标符号，符号：_，如：$$x_1$$

组合符号，符号：{}，如：$${16}{8}O{2+}{2}$$

汉字、字体与格式

汉字形式，符号：\mbox{}，如：$$V_{\mbox{初始}}$$

字体控制，符号：\displaystyle，如：$$\displaystyle \frac{x+y}{y+z}$$

下划线符号，符号：\underline，如：$$\underline{x+y}$$

标签，符号\tag{数字}，如：$$\tag{11}$$

上大括号，符号：\overbrace{算式}，如：$$\overbrace{a+b+c+d}^{2.0}$$

下大括号，符号：\underbrace{算式}，如：$$a+\underbrace{b+c}_{1.0}+d$$

上位符号，符号：\stacrel{上位符号}{基位符号}，如：$$\vec{x}\stackrel{\mathrm{def}}{=}{x_1,\dots,x_n}$$

占位符

两个quad空格，符号：\qquad，如：$$x \qquad y$$

quad空格，符号：\quad，如：$$x \quad y$$
大空格，符号\，如：$$x \ y$$
中空格，符号:，如：$$x : y$$
小空格，符号,，如：$$x , y$$
没有空格，符号``，如：$$xy$$
紧贴，符号!，如：$$x ! y$$

定界符与组合

括号，符号：（）\big(\big) \Big(\Big) \bigg(\bigg) \Bigg(\Bigg)，如：$$（）\big(\big) \Big(\Big) \bigg(\bigg) \Bigg(\Bigg)$$

中括号，符号：[]，如：$$[x+y]$$

大括号，符号：{ }，如：$${x+y}$$

自适应括号，符号：\left \right，如：$$\left(x\right)$$，$$\left(x{yz}\right)$$

组合公式，符号：{上位公式 \choose 下位公式}，如：$${n+1 \choose k}={n \choose k}+{n \choose k-1}$$

组合公式，符号：{上位公式 \atop 下位公式}，如：$$\sum{k_0,k_1,\ldots>0 \atop k_0+k_1+\cdots=n}A_{k_0}A_{k_1}\cdots$$

四则运算

加法运算，符号：+，如：$$x+y=z$$

减法运算，符号：-，如：$$x-y=z$$

加减运算，符号：\pm，如：$$x \pm y=z$$

减甲运算，符号：\mp，如：$$x \mp y=z$$

乘法运算，符号：\times，如：$$x \times y=z$$

点乘运算，符号：\cdot，如：$$x \cdot y=z$$

星乘运算，符号：\ast，如：$$x \ast y=z$$

除法运算，符号：\div，如：$$x \div y=z$$

斜法运算，符号：/，如：$$x/y=z$$

分式表示，符号：\frac{分子}{分母}，如：$$\frac{x+y}{y+z}$$

分式表示，符号：{分子} \voer {分母}，如：$${x+y} \over {y+z}$$

绝对值表示，符号：||，如：$$|x+y|$$

高级运算

平均数运算，符号：\overline{算式}，如：$$\overline{xyz}$$

开二次方运算，符号：\sqrt，如：$$\sqrt x$$

开方运算，符号：\sqrt[开方数]{被开方数}，如：$$\sqrt[3]{x+y}$$

对数运算，符号：\log，如：$$\log(x)$$

极限运算，符号：\lim，如：$$\lim^{x \to \infty}_{y \to 0}{\frac{x}{y}}$$

极限运算，符号：\displaystyle \lim，如：$$\displaystyle \lim^{x \to \infty}_{y \to 0}{\frac{x}{y}}$$

求和运算，符号：\sum，如：$$\sum^{x \to \infty}_{y \to 0}{\frac{x}{y}}$$

求和运算，符号：\displaystyle \sum，如：$$\displaystyle \sum^{x \to \infty}_{y \to 0}{\frac{x}{y}}$$

积分运算，符号：\int，如：$$\int^{\infty}_{0}{xdx}$$

积分运算，符号：\displaystyle \int，如：$$\displaystyle \int^{\infty}_{0}{xdx}$$

微分运算，符号：\partial，如：$$\frac{\partial x}{\partial y}$$

矩阵表示，符号：\begin{matrix} \end{matrix}，如：$$\left[ \begin{matrix} 1 &2 &\cdots &4\ 5 &6 &\cdots &8\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\ 13 &14 &\cdots &16\end{matrix} \right]$$

逻辑运算

等于运算，符号：=，如：$$x+y=z$$

大于运算，符号：>，如：$$x+y>z$$

小于运算，符号：<，如：$$x+y<z$$

大于等于运算，符号：\geq，如：$$x+y \geq z$$

小于等于运算，符号：\leq，如：$$x+y \leq z$$

不等于运算，符号：\neq，如：$$x+y \neq z$$

不大于等于运算，符号：\ngeq，如：$$x+y \ngeq z$$

不大于等于运算，符号：\not\geq，如：$$x+y \not\geq z$$

不小于等于运算，符号：\nleq，如：$$x+y \nleq z$$

不小于等于运算，符号：\not\leq，如：$$x+y \not\leq z$$

约等于运算，符号：\approx，如：$$x+y \approx z$$

恒定等于运算，符号：\equiv，如：$$x+y \equiv z$$

集合运算

属于运算，符号：\in，如：$$x \in y$$

不属于运算，符号：\notin，如：$$x \notin y$$

不属于运算，符号：\not\in，如：$$x \not\in y$$

子集运算，符号：\subset，如：$$x \subset y$$

子集运算，符号：\supset，如：$$x \supset y$$

真子集运算，符号：\subseteq，如：$$x \subseteq y$$

非真子集运算，符号：\subsetneq，如：$$x \subsetneq y$$

真子集运算，符号：\supseteq，如：$$x \supseteq y$$

非真子集运算，符号：\supsetneq，如：$$x \supsetneq y$$

非子集运算，符号：\not\subset，如：$$x \not\subset y$$

非子集运算，符号：\not\supset，如：$$x \not\supset y$$

并集运算，符号：\cup，如：$$x \cup y$$

交集运算，符号：\cap，如：$$x \cap y$$

差集运算，符号：\setminus，如：$$x \setminus y$$

同或运算，符号：\bigodot，如：$$x \bigodot y$$

同与运算，符号：\bigotimes，如：$$x \bigotimes y$$

实数集合，符号：\mathbb{R}，如：$$\mathbb{R}$$

整数集合，符号：\mathbb{Z}，如：$$\mathbb{Z}$$

自然数集合，符号：\mathbb{N}，如：$$\mathbb{N}$$

空集，符号：\emptyset，如：$$\emptyset$$

数学符号

无穷，符号：\infty，如：$$\infty$$

虚数，符号：\imath，如：$$\imath$$

虚数，符号：\jmath，如：$$\jmath$$

数学符号，符号\hat{a}，如：$$\hat{a}$$

数学符号，符号\check{a}，如：$$\check{a}$$

数学符号，符号\breve{a}，如：$$\breve{a}$$

数学符号，符号\tilde{a}，如：$$\tilde{a}$$

数学符号，符号\bar{a}，如：$$\bar{a}$$

矢量符号，符号\vec{a}，如：$$\vec{a}$$

数学符号，符号\acute{a}，如：$$\acute{a}$$

数学符号，符号\grave{a}，如：$$\grave{a}$$

数学符号，符号\mathring{a}，如：$$\mathring{a}$$

一阶导数符号，符号\dot{a}，如：$$\dot{a}$$

二阶导数符号，符号\ddot{a}，如：$$\ddot{a}$$

上箭头，符号：\uparrow，如：$$\uparrow$$

上箭头，符号：\Uparrow，如：$$\Uparrow$$

下箭头，符号：\downarrow，如：$$\downarrow$$

下箭头，符号：\Downarrow，如：$$\Downarrow$$

左箭头，符号：\leftarrow，如：$$\leftarrow$$

左箭头，符号：\Leftarrow，如：$$\Leftarrow$$

右箭头，符号：\rightarrow，如：$$\rightarrow$$

右箭头，符号：\Rightarrow，如：$$\Rightarrow$$

底端对齐的省略号，符号：\ldots，如：$$1,2,\ldots,n$$

中线对齐的省略号，符号：\cdots，如：$$x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2$$

竖直对齐的省略号，符号：\vdots，如：$$\vdots$$

斜对齐的省略号，符号：\ddots，如：$$\ddots$$

希腊字母

符号检索

支持英文检索

方程组

$$ |x| =\begin{cases}-x & \text{if } x < 0,\0 & \text{if } x = 0,\x & \text{if } x > 0.\end{cases} $$

$$\begin{align}a ={} & b + c \={} & d + e + f + g + h + i+ j + k + l \notag \& + m + n + o \={} & p + q + r + s \end{align}$$

题：已知$${a,b,c,d}\in{\mathbb{N}}\mbox{且满足如下方程组}\ \begin{cases}\begin{gather}a^2+b+c+d=10 \qquad\tag{1}\a+b^2+c+d=12 \qquad\tag{2}\a+b+c^2+d=16 \qquad\tag{3}\a+b+c+d^2=22 \qquad\tag{4}\end{gather}\end{cases}$$

求$$a+b+c+d=?$$

如果$${a,b,c,d}\in{\mathbb{Z}}\mbox{或}\in{\mathbb{R}}\mbox{或}\in{\mathbb{C}}$$呢？

解：

当$${a,b,c,d}\in{\mathbb{N}}\mbox{时,不妨设}a\leq b\leq c\leq d$$

$$\because 5^2=25>22 \ \therefore \mbox{由式（4）得}d\leq4 \ \therefore a+b+c+16\geq a+b+c+d^2=22 \ \therefore a+b+c\geq6$$

$$\mbox{由式（2）-式（1）得：}\ b^2-a^2+a-b=2\ (b-a)(b+a-1)=1\times2\ \begin{cases} b-a=1 \b+a-1=2 \end{cases}\ \therefore \begin{cases} a=1\ b=2\ c=3\ d=4 \end{cases}\ \therefore a+b+c+d=10$$

答： $$\mbox{当{a,b,c,d}}$$ $$\in{\mathbb{N}}\mbox{时，}a+b+c+d=10$$

韩信点兵

第一题

将20以内的八个质数分别填入下面式子的括号内，使得A是整数，请问A是几？
$$ A=\frac{(\quad)+(\quad)+(\quad)+(\quad)+(\quad)+(\quad)}{(\quad)+(\quad)} $$

解：

八个质数分别为：2，3，5，7，11，13，17，19

$$\because \mbox{偶数不能整除奇数}$$

$$\therefore 2\mbox{位于分母}$$

$$ \begin{align}\therefore A&=\frac{(3)+(7)+(11)+(13)+(17)+(19)}{(2)+(5)}\&=70\div7\&=10\end{align}$$

答： A等于10。

第三题

要使$$n!$$能被990整除，问n最小应该等于几？

解：
$$990=3\times3\times2\times5\times11$$

$$\because990|n!\ \therefore n=11$$

答：n最小等于11。

如何变身Python编辑器？
接下来，我们来看怎样将浏览器打造成Python编辑器。只需要在地址栏输入下面的代码即可：

1

data:text/html,<style type="text/css">.e{position:absolute;top:0;rightq:0;bottom:0;left:0;}</style><div class="e" id="editor"></div><script src="http://d1n0x3qji82z53.cloudfront.net/src-min-noconflict/ace.js" type="text/javascript" charset="utf-8"></script><script>var e=ace.edit("editor");e.setTheme("ace/theme/textmate");e.getSession().setMode("ace/mode/python:");</script>

1

data:text/html,<style type="text/css">.e{position:absolute;top:0;right:50%;bottom:0;left:0;} .c{position:absolute;overflow:auto;top:0;right:0;bottom:0;left:50%;}</style><div class="e" id="editor"></div><div class="c"></div><script src="http://d1n0x3qji82z53.cloudfront.net/src-min-noconflict/ace.js" type="text/javascript" charset="utf-8"></script><script src="http://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/showdown/0.3.1/showdown.min.js"></script><script> function showResult(e){consoleEl.innerHTML=e}var e=ace.edit("editor");e.setTheme("ace/theme/monokai");e.getSession().setMode("ace/mode/markdown");var consoleEl=document.getElementsByClassName("c")[0];var converter=new Showdown.converter;e.commands.addCommand({name:"markdown",bindKey:{win:"Ctrl-M",mac:"Command-M"},exec:function(t){var n=e.getSession().getMode().$id;if(n=="ace/mode/markdown"){showResult(converter.makeHtml(t.getValue()))}},readOnly:true})</script>

2019.7.7

参观雨花台有感

“人生自古谁无死，留取丹心照汗青。”这句诗是远在南宋时期的诗人文天祥创作的，他落到敌人手里后宁死不屈，写下了这千古名句。现在，我们的身边有没有像他一样牺牲个体以换取国家安定的人呢？今天，我们正气之星战队的成员怀着崇敬的心情来到了雨花台，瞻仰像文天祥一样的革命先烈们。

刚进北大门，我们就看见了高达11米的雕塑，上面雕刻着9个人。虽然他们职业不同，相貌不同，但每一个人脸上都露出视死如归的坚定表情，为崇高的共产主义理想与信念而捐躯。我们肃立在他们面前，开始用清脆而响亮的声音朗诵：“万民拾级雨花台，萧默追思仰俊才……”

爬上台阶，到达了顶端后，高达23.4米的烈士纪念碑就矗立在了我们面前。碑前立了一位革命者的雕塑。“我们革命者失去的只是锁链，而得到的是整个世界！”碑的正面写着“雨花台烈士纪念碑”八个金光闪闪的大字。庄严的音乐响起，我们绕着雄伟的烈士纪念碑走了一圈。

接下来，我们走到了革命烈士纪念馆。这里详细呈现了先烈们的感人事迹。很多人都是年纪轻轻就被押送到南京，随后被敌人给杀害了。在牺牲之前，他们即使受到了严刑拷打、持续的非人折磨，依旧没有改变自己的初衷。邓中夏更是说：“就是烧成灰，我也是共产党员！”信仰的力量是多么强大！我们要学习革命烈士那样坚贞不屈、百折不挠的精神！

要离开雨花台了。在阳光的照耀下，我望向远方，“信仰”、“不忘初心”、“牢记使命”这三个词在阳光里显得更加美丽。

2019.7.18

校园四季

在我十几年的人生旅途中，有一段难忘的生活——我在小学里度过的6年美好时光，每一天都是音符，组成了优美的旋律……

春

新年的开始，总会令人期待：新老师，新同学，新知识……

开学了，同学们三两成群走进学校，有说有笑。校园里花草树木都从白色的睡梦中醒来，迎接着谈笑风生的同学们。看！那里，小池塘刚刚揭开了白色的封条，小桥上的白霜也被一扫而光。老师笑语盈盈地和学生问好，眼里露出对我们新学期进步的期冀。

让我们在繁花似锦的春天里共同向前进一步吧！

夏

酷暑走近，校园里景象在变化……

夏天来了，雨也跟着来了。刚下完倾盆大雨，今天就去上了学。我走到了石榴树下，石榴花竟然被雨给打开了！树上湿漉漉，地上水汪汪，心情格外郁闷。突然，又开始下“雨”了。所有人都吓了一跳，有的撑伞，有的戴帽，还有的在挡头。跑进走廊后，才发现虚惊一场。原来有位同学调皮地摇了树，才会有这样的结果。同学们并未责怪他，反而笑了。我也笑了，心情好多了，就像现在外面那阳光灿烂的晴天一般。

在夏日的雨中，拉起手，笑一笑，在笑容里懂得友情。

秋

丰收的季节来了，我们“收获”到了什么呢？

又是一个新学期的开端，我们都升了年级。毕业生洒泪向母校告别，新生挺胸接受校徽、红领巾。我们微笑着向过去的老师挥手，同时也向新老师问好。那些在教学楼旁的枫叶，比火还红；那些在小池塘旁的银杏叶，比太阳还黄。遍地都是五彩斑斓的落叶。

景色如画，一起携手同行，感受自然之美。

冬

又是一次轮回，新年又要开始，旧年就要结束。

白雪纷飞，盖住了一切。树变白了，草变白了，小池塘也变成了一片明镜，小桥又重新盖上了一层薄薄的白被。万物都睡了。下雪天，同学们开始堆雪人，打雪仗，不亦乐乎！

我们在白色世界里盼望着来年。

永远不会忘记这一段优美动听的旋律。它会一直在我耳边萦绕！

已知
$$\overline{ABCD}\times D =\overline{DCB1}$$
，其中相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么
$$\overline{ABCD}+\overline{DCBA}$$等于几？

流程图

graph TD;
A(D乘D个位为1)-->B(D=9);
B--D乘A=9-->C(A=1);
C--B乘D不能有进位-->D(B=0);
B--乘C加8-->E(个位=B)
E--乘B加前一步的进位数-->F(得数为C);
D-->G(C=8);
F-->G;
G-->H(1089X9=9801);
H-->I(10890);

The Wind in the Willows is about the delightful adventure of four friends, Badger, Rat, Mole and Toad. The setting is in the countryside. I personally believe the four main characters all have their own characteristics and represent different stages of life. Badger, the eldest, has a strict and kind nature. Rat, next to Badger, is hospitable and understanding, like Badger, but sometimes he has an adventurous nature like a young man. Mole, who represents a young man, is often wanting to act grown up, but when there are important choices, he must relies on others. Toad, the youngest, usually is a foolish child, the others all have to help him to get along with life.

Also in this book, I’d like to say that there is mentorship in it. Rat is a successful teacher to Mole. We can make a contrast from the “Mole before” and the “Mole after”. You can see he is brave enough to be himself. And Badger teaches Toad successfully too. Because at the end of the book, Toad is acting like a real gentleman.

I really recommend this book to read.